Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - Розділ 6. Використання нелінійного та динамічного програмування в розробці управлінських рішень
6.1. Нелінійне програмування
Економічні моделі та процеси переважно нелінійні. Для ефективного управління окремими об'єктами господарювання, галузями та національною економікою в цілому необхідне застосування нелінійних економіко-математичних моделей і методів.
Розглянемо ситуацію, коли для деякої виробничої системи необхідно визначити план виробництва продукції за умови якнайкращого використання наявних ресурсів. Для системи, яка досліджується, відомі запаси ресурсів, необхідні для виготовлення продукції, норми витрат кожного ресурсу на одиницю продукції, ціна реалізації одиниці продукції. За критерій оптимальності найчастіше беруть максимізацію прибутку від реалізації продукції, який подається лінійною залежністю. В умовах ринкової конкуренції питання збуту продукції стає складним, оскільки обсяг реалізації визначається переважно її ціною. Таким чином, критерій оптимальності розглядається як максимізація лише реалізованої продукції. Отже, потрібно визначити ціну одиниці продукції, яка забезпечить максимальний збут. У задачу таке значення ціни вводиться як невідоме, при цьому обмеження задачі мають ураховувати зв'язки між такими показниками, як ціна товару, витрати на рекламу та обсяги збуту продукції. Тобто, маємо ситуацію, коли цільова функція містить добуток двох невідомих величин, а це означає, що цільова функція стає нелінійною.
Розглянемо також декілька задач на прийняття управлінських рішень щодо формування портфеля цінних паперів. У їх основі лежить теорія, згідно з якою інвестори мають можливість розподілу коштів за кількома проектами інвестування, тобто можуть формувати інвестиційний портфель. Критерієм оцінки ефективності прийнятих рішень є очікувана дохідність портфеля та його ризик.
Нехай вектор X = |х1,х]Ч} визначає структуру портфеля цінних паперів; Я - випадкова величина норми прибутку цінних паперів 7-го
N
Виду, і = 1, N детермінована величина тп = £ хіші - очікувана но-
¡=1
Рма прибутку портфеля пінних паперів, де mi = M (Ri) - очікувана норма прибутку цінних паперів i-ro виду; о - оцінка ступеня ризику портфеля цінних паперів.
Задача збереження капіталу полягає у виборі такої структури портфеля цінних паперів, щоб ступінь ризику цього портфеля був мінімальним.
Математична модель задачі:
NN
Min оя = min ^Hxixj°у,
X1,...,xn x1,...,xni=1 j=l
N
£ xi = 1, xi > 0, i = 1, N,
Де oj = M((Rt - mi)(Rj - mj)J - коваріація випадкових величин R та Rj.
Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку полягає у виборі такої структури портфеля цінних паперів, за якої його очікувана норма прибутку буде не меншою заданого рівня - mc (mc = const), а ступінь ризику при цьому буде мінімальним.
Математична модель задачі:
2 NN
Min о я = min Y^HXiXj а у,
X1,...,xn X1,...,xni=1 j=1
NN
Mn = Zximi > mC, 2xi = 1, xi > 0, i = 1, N.
Задача забезпечення приросту капіталу полягає у виборі такої структури портфеля цінних паперів, щоб ступінь його ризику не перевищував заданого рівня оL (оL = const) і при цьому досягалася б максимальна величина сподіваної норми прибутку.
Математична модель задачі:
Max mn = max £ximi,
X1,...,xn x!,...,xni=1
2 NN 2 N
° и = HHxixj Qj < о2, 2 xi = 1, xi > 0, i = 1, N.
Наведені приклади показують, що поява нелінійних моделей пов'язана з необхідністю враховувати і виявляти нелінійні закономірності, які впливають на прийняття оптимального рішення. Такі закономірності включаються в обмеження задачі та цільову функцію.
У загальному вигляді задача нелінійного програмування формулюється так: знайти значення змінних х1, х2, хп, щоб цільова функція
Г = /(х1, х2,хп) набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення
Г = /(х1, х2,хп) -" шах(шіп);
За умов
[<
&;і(х1, хп)їЬі, і = 1,т;
Х] ^ 0, ; = 1, п,
Де gi( х1, х2,..., хп) - відомі функції; Ьі - задані константи, і = 1, т.
Задачі нелінійного програмування, можна класифікувати за характером функцій та обмежень, якими вони описуються.
1. Класичні задачі оптимізації, де треба знайти умовний екстремум функції, тобто екстремум деякої функції за умови, що на змінні такої функції накладаються додаткові обмеження
Г = /(х1, х2,хп) -" шах(шіп);
[ gi (х1, х2,..., хп ) = Ьі, і = 1, т; їх; > 0, і = 1,п,
Характерною особливістю цих задач є те, що її обмеження задані системою рівнянь. Якщо т = 0, то маємо класичну задачу відшукання безумовного екстремуму функції г = /(х1, х2, хп). Для класичних задач оптимізації суттєва вимога гладкості (існування і неперервність у
Функцій_Дхь х2, хп) та gi(x1, х2, хп) (і = 1, т) частинних похідних
Принаймні до 2-го порядку включно).
2. Задачі з нелінійною цільовою функцією і лінійними обмеженнями. Вони мають вигляд
Г = _Дхь х2, хп) шіп; gi (х1, хп) = 2 сі^х; - Ь < 0, і = 1, т;
Х; > 0, і = 1, п.
Характерна ознака таких задач полягає в тому, що їх допустима множина багатогранна.
Зауважимо, що задача максимізації функції f(x1, x2, xn) еквівалентна задачі мінімізації функції f(x1, x2, xn), обмеження gi(x1, x2, xn) > 0 еквівалентне обмеженню gi(x1, x2, xn) < 0. Тому при формулюванні й розв'язанні задач можна обмежитись лише одним з цих випадків.
3. Задачі опуклого програмування. Опукле програмування розглядає методи розв'язання задач нелінійного програмування, математичні моделі яких містять опуклі функції.
Функція fix) називається опуклою, якщо для довільних значень її аргументу x1 та x2 виконується нерівність
F (1x1 + (1 + VX2) ^ У(X1) + (1 - (X2), 0 < І < 1. Загальний вигляд задачі опуклого програмування такий:
Z = f(x1, X2, Xn) -> min; gi(X1, X2,..., Xn) < 0, i = 1,m; |Xj > 0, j = 1, n,
Дєf X1, X2, Xn), gi(X1, X2, Xn) - опуклі функції.
4. Задачі квадратичного програмування. У цих задачах потрібно мінімізувати квадратичну функцію
N n n
Z = f (X1, X2,Xn) = ZCjXj + 2 ZdjXiXj min; при лінійних обмеженнях
Gi (X1, X2,Xn ) = Z ajXj - bi < 0, i = 1, m;
Xj ^ 0, j = 1, n,
За умови, що f(X1, x2, Xn) є опуклою функцією.
Задачі квадратичного програмування можна зарахувати як до задач з нелінійною цільовою функцією і лінійними обмеженнями, так і до класу задач опуклого програмування. Але їх виділяють в окремий клас через специфіку цільової функції.
5. Задачі сепарабельного програмування. Для цих задач характерно те, що цільова функція і функції умов адитивні, тобто їх можна подати у вигляді
П 7=1
7=1
На відміну від задач лінійного програмування, для розв'язування нелінійних задач не існує універсального методу. Це пов'язано з тим, що нелінійні задачі не мають, як правило, спільних властивостей, які б могли бути покладені в основу такого методу. Для кожного класу задач нелінійного програмування розроблено спеціальні методи. їх порівняння ускладнюється тим, що певний метод може бути досить корисним для розв'язання задач одного класу і зовсім непридатним для розв'язування задач інших класів.
Схожі статті
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - 4.3. Задачі лінійного програмування
Для моделювання складних реальних процесів управління необхідно враховувати чималу кількість факторів. Розглянемо випадок, коли математичну модель...
-
Успішність виконання переважної більшості управлінських завдань залежить від найкращого, найвигіднішого способу використання ресурсів, таких як гроші,...
-
Успішність виконання переважної більшості управлінських завдань залежить від найкращого, найвигіднішого способу використання ресурсів, таких як гроші,...
-
Успішність виконання переважної більшості управлінських завдань залежить від найкращого, найвигіднішого способу використання ресурсів, таких як гроші,...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - 4.4. Задачі лінійного цілочислового програмування
Лінійне цілочислове програмування може розглядатися як важливий математичний інструментарій розробки управлінських рішень, оскільки існує доволі широке...
-
4.1. Математичне моделювання економічних систем Прийняття управлінських рішень передбачає формування певного уявлення про систему управління і процесів,...
-
Успішність виконання переважної більшості управлінських завдань залежить від найкращого, найвигіднішого способу використання ресурсів, таких як гроші,...
-
3.1. Методи діагностики проблеми управління Етап діагностики управлінської проблеми передбачає застосування методів, які дають змогу достовірно й повно...
-
5.1. Транспортна задача за загальним критерієм вартості Логістичні процеси набувають усе більшого значення в сучасній економічній діяльності. Логістика...
-
1.1. Сутність прийняття управлінських рішень Кожна організація визначає певні цілі своєї діяльності. їх ефективне досягнення можливе лише внаслідок таких...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - Задача про "товарний портфель"
Лінійне цілочислове програмування може розглядатися як важливий математичний інструментарій розробки управлінських рішень, оскільки існує доволі широке...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - 4.1. Математичне моделювання економічних систем
4.1. Математичне моделювання економічних систем Прийняття управлінських рішень передбачає формування певного уявлення про систему управління і процесів,...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - Задача "комівояжера"
Лінійне цілочислове програмування може розглядатися як важливий математичний інструментарій розробки управлінських рішень, оскільки існує доволі широке...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - Вступ
Існування будь-якої організації пов'язано з розробкою, прийняттям і реалізацією управлінських рішень. Від того, які саме управлінські рішення...
-
Класифікація управлінських рішень необхідна для визначення загальних і конкретно-специфічних підходів до їх розробки, реалізації й оцінки. Найбільш...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - 1.3. Класифікація управлінських рішень
Класифікація управлінських рішень необхідна для визначення загальних і конкретно-специфічних підходів до їх розробки, реалізації й оцінки. Найбільш...
-
На етапі генерації ідей відбувається накопичення інформації та змінюється підхід до її аналізу. При цьому використовуються результати власних або...
-
Транспортна задача за критерієм часу виникає під час перевезення термінових вантажів, наприклад, продуктів, які швидко псуються, в надзвичайних ситуаціях...
-
5.1. Транспортна задача за загальним критерієм вартості Логістичні процеси набувають усе більшого значення в сучасній економічній діяльності. Логістика...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - 3.1. Методи діагностики проблеми управління
3.1. Методи діагностики проблеми управління Етап діагностики управлінської проблеми передбачає застосування методів, які дають змогу достовірно й повно...
-
Прийняття рішень - творче, відповідальне завдання управління, зміст якого в тому, щоб відповідно до ситуації визначити подальші дії підлеглих у...
-
2.1. Місце людського фактора у процесі прийняття рішень Подальше ускладнення управлінських завдань потребує вдосконалення методів і прийомів їх...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - 1.1. Сутність прийняття управлінських рішень
1.1. Сутність прийняття управлінських рішень Кожна організація визначає певні цілі своєї діяльності. їх ефективне досягнення можливе лише внаслідок таких...
-
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - 2.3. Неформальні аспекти розробки рішень
Можна припустити, що в розробці управлінських рішень найбільш точний результат отримується шляхом застосування математичних методів на основі...
-
Дослідження показали, що всі психологічні властивості безпосередньо впливають на формування індивідуального стилю прийняття рішень у керівника й побічно...
-
2.1. Місце людського фактора у процесі прийняття рішень Подальше ускладнення управлінських завдань потребує вдосконалення методів і прийомів їх...
-
Менеджмент - Рульєв В. А. - Розділ 7. Основи теорії прийняття управлінських рішень
7.1. Теорія прийняття управлінського рішення Існування людства нерозривно пов'язано із розробкою, прийняттям і реалізацією управлінських рішень. Під...
-
3.1. Методологія підготовки й ухвалення управлінського рішення Методологія управлінських рішень - це організація діяльності, пов'язаної з розробкою...
-
Співвідношення між виручкою від реалізації і маржинальним доходом виражається коефіцієнтом маржинального доходу (або коефіцієнтом покриття) за формулою...
-
2.1. Системний підхід в управлінні економікою Системний підхід в ухваленні управлінських рішень Ухвалення раціональних рішень вимагає цілісного...
Прийняття управлінських рішень - Петруня Ю. Є. - Розділ 6. Використання нелінійного та динамічного програмування в розробці управлінських рішень